概念
- 数列：按特定规律排列的一组数字的集合。
- 等差数列：指从第二项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，这个常数称为公差。
例如：
- 1、4、7、10、13、16、19
这是一组等差数列，每个数字之间相差3，其中：
- 公差为：3。
- 首项（数列的第一个数字）是：1。
- 末项（数列的最后一个数字）是：19。
- 项数（数列的总数）：7。
- 数列的项（简称项）：数列中的一个个数字。
辨认
以下数列是否是等差数列？
- 2、6、10、14、18、22，是
- 1、2、1、2、3、4、5、6，不是
- 1、2、4、8、16、32、64，不是
- 9、8、7、6、5、4、3、2，是
计算
求项的数
2、5、8、11、14、…、?，求？第21项的数字是多少？
如果项是最后一个也称为求末项
分析：
公差是3，找一下规律：
- 5，序号2，和2之间差1个3。
- 8，序号3，和2之间差2个3（2+2个3）。
- 11，序号4，和2之间差3个3（2+3个3）。
- 14，序号5，和2之间差4个3（2+4个3）。
- …
根据规律问题变成了：序号21，2到底要加几个3？
答案是：2 + (序号 - 1)个3，也就是2+20个3，所以第21项的数字是：62。
因此得出公式：$$第n项的数 = 首项 + (n的序号 - 1) \times 公差$$ 如果求第1个项的数字，也就是求首项，那么公式是： $$首项 = 末项 - (项数 - 1) ×公差$$
求项的序号
5、8、11、14、17、20、…、65是其中的第几项？
如果项是最后一个也称为求项数
直接套公式：$$某项的序号 = (某项的数 - 首项) \div 公差 + 1$$ 公差是3，也就是：(65 - 5) / 3 + 1，65项的序号是：21。
求和
2、4、6、8、10、12、14，这个数列各项加起来的和是多少？
分析：
倒序相加求和
- 正序 S = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14
- 倒序 S = 14 + 12 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2
2+14、4+12、6+10，正序和倒序的值加在一起都是相等的，于是可以写成：
- 2S = (2 + 14) × 7
- S = (2 + 14) × 7 ÷ 2
最终各项加起来的和是：56。
得出公式，这个公式也称为高斯求和： $$和 = (首项 + 末项) \times 项数 \div 2$$