前言
比如现在来看一组幂运算（也叫求幂）：
- 22，2的2次方，也就是2×2，结果是4。
- 23，就是2×2×2，结果是8，其中2是底数，3是指数。
那假如只给出结果16，底数是2，2x = 16，求x也就是指数是多少？要怎么做？
猜得没错，这里就需要用到对数去解决。
概念
对数是求幂的逆运算，正如除法是乘法的逆运算，定义为$N = a^x (a > 0, a \neq 1)$，即a的x次方等于N。
记作 $x = log_aN$ ，也就是 $a^x = N$ 等同于$x = log_aN$
其中：
- a叫做底数。
- N叫做真数。
- x叫做以a为底N的对数。
以上面的例子为例，用对数的表示就是：$x = log_216$
- 当底数a=10的时候，叫做常用对数，可以缩写为：$lgN$
- 当底数a=无理数e的时候，叫做自然对数，缩写为：$lnN$
性质
- 零和负数无对数。
- 1的对数为0，$0 = log_a1$，也就是$a^0 = 1$
- 底数和真数相同时，对数是1，$1 = log_aa$，也就是$a^1 = a$
练习
1、将下面指数式写成对数式：
- $5^4=625$
- 答：$4 = log_5625$
- $2^{-6} = \frac{1}{64}$
- 答：$-6 = log2\frac{1}{64}$
2、将下面对数式写成指数式：
- $log_\frac{1}{2}16 = -4$
- 答：$\frac{1}{2}^{-4} = 16$
- $log_2128 = 7$
- 答：$2^7 = 128$
运算
$$a^x = M, \quad a^y = N$$ $$a^x \times a^y = a^{x+y}$$ $$M \times N = a^{x+y}$$ $$log_a(M \times N) = x + y$$
运算法则
以下将介绍求出对数的方法都有哪些。
1、$log_aN = \frac{log_mN}{log_ma}$（a＞0，且a≠1，m＞0，且m≠1，N＞0）
又称换底公式，用m替换a，m可以是任意一个数。
以 $log_216$ 为例，将2替换成10，就是 $\frac{log_{10}16}{log_{10}2}$ ，用计算器算一算：
- $log_{10}16$的精确结果是：1.204119982655948。
- $log_{10}2$的精确结果是：0.3010299956639812。
- 相除以后的精确结果是：4.000000000000077，计算器取了近似值，所以答案是4，先取近似值再相除或者用精确结果相除再取近似值都可以，取决于计算时的选择。
2、$log_a(MN) = log_aM + log_aN$（a＞0，且a≠1，M、N＞0）
对数的乘法法则。
3、$log_a\frac{M}{N} = log_aM - log_aN$（a＞0，且a≠1，M、N＞0）
对数的除法法则。
4、$a^{log_aM} = M$（a＞0，且a≠1，M＞0）
5、$log_{a^{m}}b^{n} = \frac{n}{m}log_ab$（a、b＞0，且a、b≠1）
疑问
1、为什么定义中$a > 0, a\neq1$？ 因为这些取值都是没有意义的，所以要限制，比如：
- 当a=0时，无论指数是多少，最终结果都是0。
- 当a=1时，无论指数是多少，最终结果都是1。
- 当a＜0时，即负数时，求幂的结果可能会有两种情况，要么是正数要么是负数，带来的多义性无法保证对数运算结果的唯一性，比如：
- 指数为奇数时，求幂的结果是负数。
- 指数为偶数时，求幂的结果是正数。
应用
1、一棵完全二叉树中有65个结点，请算出完全二叉树的深度。
根据二叉树的性质4我们知道计算深度对应的公式是：$⌊log_2n⌋+1$。
将数据代入公式可以得到$⌊log_265⌋+1$，使用换底公式，把底数2换成10，就是$\frac{log_{10}65}{log_{10}2}$。
我们用计算器算一下，精确结果是：6.022367813028454，向下取整就是6，代入公式。
最终答案是：$⌊log_{2}65⌋+1=6+1=7$。
如果在不能使用计算器的情况下，当然还有一种笨方法，把$log_{2}65$写成指数式，即$2^x=65$。
把不同的数字代入x，用穷举法来找一找哪个数字最接近65：
- 来大一点的数字，直接上5，即$2^5$，答案是32，还差的远，继续往上递增。
- 上6，即$2^6$，答案是64，非常接近了。
- 再往上递增看看，$2^7$，结果是128，超过65了。
那么估算答案可能是6和7之间的小数：6.xxx，因为有向下取整函数，无论有多少个小数，最终答案都是6。
所以实际上我们并不需要精确的结果，同样也能够解决问题。